Основные понятия. Системы счисления
В непозиционных системах счисления величина, обозначающая цифру, не зависит от положения в числе. К тому же, система может накладывать ограничения на расстановку цифр, например , чтобы цифры располагались по убыванию.
Существуют такие непозиционные системы счисления:
Единичная система счисления,
Пятеричная система счисления (Счёт на пятки́),
Древнеегипетская система счисления,
Вавилонская система счисления,
Алфавитные системы счисления,
Еврейская система счисления,
Греческая система счисления,
Римская система счисления,
Система счисления майя,
Кипу инков,
Рассмотрим некоторые из, приведенных выше, систем счисления.
Единичная система счисления.
С первых попыток научиться считать у людей возникла необходимость записи чисел. Сначала это было легко — зарубка либо черточка на любой поверхности отвечала за один предмет. Таким образом возникла первая система счисления — единичная .
Число в единичной системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.
В более позднее время для упрощения восприятия больших чисел, эти знаки стали группировать по три или по пять. Далее равнообъёмные группы знаков начали заменять новым знаком — так возникли прообразы современных цифр.
У данной системы есть значительные недостатки — чем больше число, тем длиннее строка из палочек. Кроме того, существует большая вероятность в записи числа, пропустив или случайно дописав палочку.
Изначально в счете использовали пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.
Древнеегипетская десятичная система счисления.
В Древнем Египте использовали свои символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 . Вот некоторые из них:
Почему мы ее называем десятичной? Как указано выше — люди начали группировать символы. В Египте — решили группировать по 10, оставив без изменений цифру “1”. Здесь, число 10 называется основанием десятичной системы счисления , а все символы — представление числа 10 в определенной степени.
Числа в древнеегипетской системе счисления записывали, в виде комбинаций таких символов, и все они повторялись не больше 9 раз. Результатом было сумма элементов числа. Этот метод получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Для примера посмотрите на запись числа 345:
Вавилонская шестидесятеричная система счисления.
В вавилонской системе счисления использовали только 2 символа: “прямой” клин — для единиц и “лежащий” — для десятков. Для определения значения числа нужно изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. Для примера посмотрим на число 32:
Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной системы счисления .
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а значения больше 59 — в позиционной с основанием 60. Например, число 92:
Запись числа была не конкретной, так как не было цифры, которая обозначала бы нуль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32 , но и, например, 3632=3600+32 . Для определения абсолютного значения числа они ввели новый символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:
Значит, число 3632 записывают так:
Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, которая частично основана на позиционном принципе . Эту систему счисления используют и сейчас, например , для определения времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.
Римская система счисления.
Римская система счисления немного похожа с египетской. Здесь для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используют заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.
Способы определения значения числа:
- Значение числа соответствует сумме значений его цифр. Например , число 32 в римской системе счисления записывается так XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Когда слева от большей цифры стоит меньшая, то значение это разность между большей и меньшей цифрами. Кроме того, левая цифра может быть меньше правой максимум на 1 порядок: т.е. перед L(50) и С(100) из «младших» может быть лишь X(10) , перед D(500) и M(1000) — только C(100) , перед V(5) — только I(1) ; число 444 в римской системе счисления выглядит так:
CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты.
Системы счисления принято делить на два класса: непозиционные и позиционные.
В непозиционных СС от положения (позиции) цифры в записи не зависит величина, которую она обозначает. Характерным примером такой системы счисления является римская СС.
Например, в римской СС число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.
В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.
Например:
VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5 – 1 = 4.
MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.
Такие системы счисления используются редко, т.к. не приспособлены для вычислений.
На практике наибольшее распространение получили позиционные системы счисления.
Позиционная система счисления – система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением (позицией ) в ряду других цифр. В каждой позиционной системе счисления имеется основание. Любое число записывается в виде последовательности из цифр основания. Количество цифр основания равно самому основанию. Основание показывает, во сколько раз вес каждой цифры меньше веса цифры, стоящей в старшем соседнем разряде.
Некоторые позиционные системы счисления
Таблица 3.1
| Основание | Система счисления | Знаки |
| Двоичная | 0,1 | |
| Троичная | 0,1,2 | |
| Четвертичная | 0,1,2,3 | |
| Пятиричная | 0,1,2,3,4 | |
| Восьмиричная | 0,1,2,3,4,5,6,7 | |
| Десятиричная | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 | |
| Двенадцатиричная | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, А, В | |
| Шестнадцатиричная | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, А, В,D,E,F |
Числа, которыми мы привыкли пользоваться, называются десятичными и арифметика, которой мы пользуемся, также называется десятичной. Называются они так потому, что каждое число можно составить из набора цифр содержащего 10 символов (цифр) –0123456789.
Возьмём, к примеру, число 246. Его запись означает, что в числе две сотни, четыре десятка и шесть единиц. Следовательно, можно записать следующее равенство:
246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 102 + 4 * 101 + 6 * 100
Здесь знаками равенства отделены три способа записи одного и того же числа. Для нас наиболее интересна третья форма записи: 2 * 102 + 4 * 101 + 6 * 100. Она построена следующим образом:
В нашем числе три цифры. Старшая цифра «2» имеет номер 3. Так вот она умножается на 10 во второй степени. Следующая цифра «4» имеет порядковый номер 2 и умножается на 10 в первой степени. Уже видно, что цифры умножаются на десять в степени на единицу меньше порядкового номера цифры.
При этом пользуются следующим алгоритмом:
1) цифра в каждой позиции умножается на основание в степени на 1 меньшую, чем номер позиции;
2) полученные таким образом значения складываются.
Например:
12310 = 1*102+2*101+3*100;
1023.2810=1*103+0*102+2*101+3*100+2*10-1+8*10-2
В других системам счисления такой перевод будет выглядеть следующим образом:
1238 = 1х82+2х81+3х80=8310;
1012 = 1х22+0х21+1х20=510;
1Е316 = 1х162+14х161+3х160=48310.
Здесь индекс числа служит указанием на основание системы счисления. Назовем основанием системы счисления число, равное мощности множества (т.е. количеству элементов множества) различных символов, допустимых в каждой позиции числа.
Десятичная система счисления является однородной. Это означает, что одних и тех же символов достаточно для изображения любого числа. Но в повседневной жизни мы пользуемся и неоднородными системами счисления, и системами счисления с другим основанием. Пример тому – неметрические системы единиц (1 пуд=40 фунтов), система счета времени (1 минута = 60 секунд).
В дальнейшем мы будем рассматривать однородные позиционные системы счисления.
Обозначим через p основание системы счисления. Тогда веса позиций числа могут быть представлены следующим образом:
Таким образом, любое число X в позиционной системе счисления с основанием p можно представить в следующей развернутой форме записи :
p – основание системы счисления;
m – количество позиций или разрядов, отведенное для изображения целой части числа;
s – количество разрядов, отведенное для изображения дробной части числа;
n=m+s – общее количество разрядов в числе,
ai – любой допустимый символ в разряде (т.е. должен принадлежать множеству {0,1,…,p-1}).
Заметим, что число, равное основанию системы счисления, в самой системе счисления записывается в виде:
В компьютерных науках наибольшее распространение получила не десятичная, а системы счисления с основанием, кратным 2 – двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
В двоичной системе счисления допустимыми символами являются только 0 и 1, а само число может быть представлено в виде последовательности нулей и единиц.
Например:
110100102=1*27+1*26+0*25+1*24+0*23+0*22+1*21+0*20=16210
В восьмеричной системе счисления допустимыми символами являются 0,1,…7.
Например:
2428=2*82+4*81+2*80=16210
В шестнадцатеричной системе допустимыми символами являются 0,1,…9,A,B,C,D,E,F.
Например:
A216=10*161+2*160=16210
Определение. Системой счисления называется совокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощью цифровых знаков. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционной системе счисления количественный эквивалент каждой цифры, входящей в запись данного числа не зависит от места (позиции) этой цифры в ряду других цифр. В римской системе счисления для записи различных целых чисел используются символы:
I=1; V=5; X=10; L=50; C=100; D=500; M=1000
Например, MCMLXXXV=1000+(1000-100)+50+10+10+10+5=1985
Недостаток такой системы счисления очевиден – сложность представления в ней больших чисел.
Первая позиционная система счисления была придумана в древнем Вавилоне и была шестидесятеричной, т.е. в ней использовалось 60 цифр. Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем эту системы счисления.
В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем слово «дюжина», например – 12 месяцев, 24 часа, 360°.
Десятичная система счисления.
Примером позиционной системы счисления является общепринятая десятичная система счисления. В позиционной системе счисления величина представленная цифрой (ее «вес») зависит от позиции этой цифры в записи числа.
Определение. Позиция цифры в записи числа называется ее разрядом .
Определение. Количество различных цифр в алфавите позиционной системы счисления называется основанием этой системы.
Определение . Алфавит системы счисления – это упорядоченное множество цифр.
Характеристики позиционной системы счисления:
Количество цифр системы счисления равно ее основанию;
Наибольшая цифра на единицу меньше ее основания;
При записи числа каждая цифра умножается на основание системы счисления в степени, которая определяет положение цифры, начиная с 0.
В десятичной системе счисления «вес» каждого разряда в 10 раз больше «веса» предыдущего.
Например: в развернутой форме число 555,55 =5×10 2 +5×10 1 +5×10 0 +5×10 -1 +5×10 -2
Так как на практике обычно используют десятичную систему счисления, то, опуская различные степени 10, пишут сокращенно только коэффициенты при этих степенях. Таким образом, появилась закономерность, позволяющая при помощи 10 цифр записать любое, сколь угодно большое число. Затем появились правила (алгоритмы) сложения, умножения, вычитания и деления.
Но с технической точки зрения использование 10-значного алфавита неудобно. Учитывая характеристики позиционных систем счисления, можно утверждать, что наименьшее основание, которое может быть у позиционной системы счисления – это 2.
Двоичная система счисления.
В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 и 1.
Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:
1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 +0×2 -1 +1×2 -2 = 101,01 2
Вообще говоря, возможно использование множества позиционных систем счисления. В системах счисления с основанием q числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0,1,…,q-1.
A=a n-1 ×q n-1 +a n-2 ×q n-2 +…+a 1 ×q 1 +a 0 ×q 0 +a -1 ×q -1 +…+a m ×q -m
Задание : Напишите в развернутой форме следующие числа:
19,99 10 =1×10 1 +9×10 0 +9×10 -1 +9×10 -2
10,10 2 =1×2 1 +0×2 0 +1×2 -1 +0×2 -2
64,5 8 =6×8 1 +4×8 0 +5×8 -1
39,F 16 =3×16 1 +9×16 0 +F×16 -1
Перевод чисел 10 → 2.
Алгоритм решения задачи:
Разделить число на 2, зафиксировать остаток и частное.
Если частное ≠0, то разделить его на 2 и т.д. Деление продолжать до тех пор, пока это возможно.
По окончании деления записать все полученные остатки справа налево.
Примеры: 7 10 =111 2 ; 26 10 =11010 2 ; 35 10 =100011 2 ; 101 10 =1100101 2 ;
125 10 =1111101 2 ; 253 10 =11111101 2
Задание : построить в тетради таблицу. Заполнить два первых столбца.
Перевод чисел 2 → 10.
Для перевода чисел из двоичной системы в десятичную воспользуемся развернутой формулой записи числа:
1000001001 2 =1×2 9 +0×2 8 +0×2 7 +0×2 6 +0×2 5 +0×2 4 +1×2 3 +0×2 2 +0×2 1 +1×2 0 = 512+8+1=521 10
Примеры:
10101000 2 =168 10
11,11 2 =3,75 10
101111001 2 =377 10
10,11 2 =2,75 10
Восьмеричная система счисления.
При внемашинном представлении данных (например, числовой информации) применять двоичную систему с ее громоздкими записями неудобно. В этом случае часто применяется восьмеричная система счисления, в которой используются цифры от 0 до 7. Удобство восьмеричной системы счисления заключается в том, что переход от восьмеричной системы к двоичной очень прост: достаточно каждую восьмеричную цифру заменить ее двоичной триадой.
0→000 1→001 2→010 3→011
4→100 5→101 6→110 7→111
Задание: заполните третий столбец таблицы.
Достаточно прост и обратный переход из двоичной системы счисления в восьмеричную. Для этого нужно в двоичной записи числа выделить триады (вправо и влево от десятичной точки) и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой. В случае необходимости неполные триады дополняются нулями.
Примеры:
1111110 2 =001 111 110=176 8
273,54 8 =010 111 011,101 100 2
101 011 101,101 101 110 2 =535,556 8
Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную осуществляется делением на основание системы счисления (в данном случае на 8). Например, 1678 10 =3216 8 .
Перевод из восьмеричной системы счисления в десятичную осуществляется по формуле развернутой записи числа:
703 8 =7×8 2 +0×8 1 +3×8 0 =448+0+8=451 10
327 8 =3×8 2 +2×8 1 +7×8 0 =192+16+7=215 10
571 8 =5×8 2 +7×8 1 +1×8 0 =377 10
67,5 8 =6×8 1 +7×8 0 +5×8 -1 =48+7+0,625=55,625 10
Шестнадцатеричная система счисления.
При внутримашинной обработке информации и для описания работы современных ЭВМ используется шестнадцатеричная система счисления. Для записи чисел в этой системе необходимо располагать шестнадцатью символами. В качестве недостающих цифр в этой системе счисления используются начальные буквы английского алфавита.
Задание: заполните четвертый столбец таблицы.
Связь с двоичной системой счисления и в этом случае очевидна: каждая шестнадцатеричная цифра заменяется четырьмя двоичными. Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную тоже очевиден: двоичное число разбивается на тетрады и затем каждая заменяется шестнадцатеричной цифрой.
AF,C 16 =1010 1111,1100 2
B3 16 =10110011 2
101011101,101101111 2 =0001 0101 1101,1011 01111=15D,B7 16
100110101111 2 =9AF 16
По известным правилам осуществляется перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно:
1F4 16 =1×16 2 +F×16 1 +4×16 0 =256+15×16+4=500 10
1E 16 =1×16 1 +E×16 0 =16+14=30 10
D7 16 =13×16 1 +7×16 0 =215 10
19F 16 =1×16 2 +9×16 1 +F×16 0 =256+144+15=415 10
1. Понятие о кодировании информации. Универсальность дискретного (цифрового) представления информации. Позиционные и непозиционные системы счисления. Алгоритмы
Документ... (цифрового) представления информации. Позиционные и непозиционные системы счисления . Алгоритмы перевода из десятичной системы счисления в произвольную и наоборот. Связь...
Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр)
ДокументСпециальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления . Системы счисления двоичная (используются цифры 0, 1); ... в ячейку. Арифметические операции в позиционных системах счисления . Сложение Основные арифметические операции: ...
№1: Системы счисления. Перевод чисел из системы в систему. Арифметические операции над числами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления
Урок... : Познакомиться с понятиями система счисления , позиционная и непозиционная система счисления , основание позиционной системы . Научиться составлять таблицу соответствия между системами счисления , переводить числа...
-
архитектуре персонального компьютера
Введение
В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
Вычислительные машины в принципе могут быть построены в любой системе счисления. Но столь привычная для нас десятичная система окажется крайне неудобной. Если в механических вычислительных устройствах, использующих десятичную систему, достаточно просто применить элемент со множеством состояний (колесо с десятью зубьями), то в электронных машинах надо было бы иметь 10 различных потенциалов в цепях.
1. Системы счисления
Непозиционные и позиционные системы счисления
Системой счисления называется совокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощью цифровых знаков. Для записи чисел в конкретных системах счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий из цифр а1, а2, а3,…., аn. При этом каждой цифре аi в записи числа ставится в соответствие определенный количественный эквивалент. Различают непозиционные и позиционные системы счисления.
Непозиционные системы счисления
В ней количественный эквивалент каждой цифры, входящей в запись данного числа, не зависит от места (позиции) этой цифры в ряду других цифр. Пример: римская система счисления. В ней для записи различных целых чисел используются символы I, V, X, L, C, D, M и т.д., обозначающие соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 и т.д. Например, запись MCMLXXXV означает число 1985. Общим недостатком непозиционных систем является сложность представления в них достаточно больших чисел, так как при этом получается чрезвычайно громоздкая запись чисел или требуется очень большой алфавит используемых цифр. В ЭВМ применяют только позиционные системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры алфавита зависит не только от вида этой цифры, но и от ее местоположения в записи числа.
Позиционные системы счисления
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.
2. Основные позиционные системы счисления
Десятичная система счисления
Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д. Позиции цифр в записи числа называют его разрядами. В десятичной системе счисления вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего. Всякое число в десятичной системе счисления можно представить в виде суммы различных целых степеней десяти с соответствующими коэффициентами аi (0-9), взятыми из алфавита данной системы счисления.
Например: 245,83 = 2 * 102 + 4 * 101 + 5 * 100 + 8 * 10-1 + 3 * 10-2. Любое десятичное позиционное число N можно представить с помощью целых степеней десяти, взятых с соответствующими коэффициентами, т.е.
N10 = am * 10m + am-1 * 10m-1 + …+ a1*10+ +a0 * 100 + a-1 * 10-1 +…+ a-n * 10-n.
Двоичная система счисления.
В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.
Восьмеричная система счисления.
В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.
Шестнадцатеричная система счисления.
Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.
Система счисления - совокупность приёмов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные
Непозиционная система счисления - система, в которой, значение символа не зависит от его положения в числе. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных систем. Они использовались в древности римлянами, египтянами, славя-нами и другими народами. Примером непозиционной системы счисления, дошедшей до наших дней, служит римская система счисления.
Цифры в римской системе обозначаются различными знаками: 1-I; 3-III; 5-V; 10-X; 50-L; 100-C; 500-D; 1000-M. Для записи промежуточных значений существует правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а слева - вычитается из него. Так, IV обозначает 4, VI-6, LX- 60, XC-90 и т.д. Основной недостаток непозиционных систем - большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.
Позиционная система счисления - система, в которой значение символа зависит от его места в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 7382 первая цифра слева означает количество тысяч, вторая - количество сотен, третья - количество десятков и четвёртая количество единиц. Позиционные системы счисления (ПСС) более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили более широкое распространение. Позиционная система счисления характеризуется основанием.
Основание (базис) ПСС - количество знаков или символов, используемых в разрядах для изображения числа в данной системе счисления. Для ПСС с общим основанием справедливо равенство
Значения первых 16 целых чисел в различных СС
10 2 8 16 10 2 8 16 0 0 0 0 8 1000 10 8 1 1 1 1 9 1001 11 9 2 10 2 2 10 1010 12 А 3 11 3 3 11 1011 13 B 4 100 4 4 12 1100 14 C 5 101 5 5 13 1101 15 D 6 110 6 6 14 1110 16 E 7 111 7 7 15 1111 17 F Двоичная система счисления. Правила двоичной арифметики
В двоичной системе счисления для записи чисел используется две цифры 0 и 1. Основание системы q=2 записывается как 10 2 = 10
В данной СС любое число может быть представлено последовательностью двоичных цифр. Эта запись соответст-вует сумме степеней цифры 2, взятых с указанными в ней коэффициентами
X=am*2m+am-1*2m-1+…+a1*21+a0*20+… . Например, двоичное число (10101101)2=1*27+0*26+1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20=17310
Арифметические операции над двоичными числами отличаются простотой и лег-костью технического выполнения.
Правила двоичной арифметики:
Сложение:
1+1=10 (происходит перенос единицы в старший разряд);
Вычитание:
10-1=1 (происходит заем единицы в старшем разряде);
Умножение:
Двоичная система счисления является основной для использования в ЭВМ, удобной из-за простоты выполнения арифметических операций над двоичными числами. С точки зрения затрат оборудования на создание ЭВМ эта система уступает только троичной системе счисления.
В двоично-кодированных системах счисления, имеющих основания q, отличные от 2 (q>2), каждая цифра числа представляется в двоичной системе счисления. Наибольшее применение в ЭВМ получили шестнадцатеричная система счисления и десятичная двоично-кодированная система счисления.
Восьмеричная и шестнадцатеричная система счисления
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются вспомогательными системами при подготовке задачи к решению. Удобство их использования состоит в том, что числа соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной системы, а перевод в двоичную систему счисления и наоборот несложен и выполняется простым механическим способом.
Число 137,45 8 перевести в двоичную систему счисления. Перевод осуществляется заменой каждой восьмеричной цифры трехзначным двоичным числом (триадой):
т.e. 5F,94 16 =01011111,10010100 2 .Исходя из Число 5F,94 16 в восьмеричной системе счисления имеет вид 137,45 8 .
В десятичной двоично-кодированной системе счисления, часто называемой двоично-десятичной системой, используются десятичные числа. В ней каждую цифру деся-тичного числа (от 0 до 9) заменяют тетрадой.
Число 273,59 10 перевести в двоично-десятичную систему счисления. Перевод осуществим следующим образом:
2 7 3, 5 9 0010 0111 0011 0101 1001 т.е. 273,59 10 = 001001110011,01011001 2-10
Двоично-десятичную запись числа используют непосредственно или как промежу-точную форму записи между обычной десятичной его записью и машинной двоичной. Вычислительная машина сама по специальной программе переводит двоично-десятичные числа в двоичные и обратно.
Правила перевода из одной позиционной системы счисления в другую
Перевод целых чисел
Допустим, число Х из системы счисления с основанием q требуется перевести в систему счисления с основанием р. Перевод осуществляется по следующему правилу. Целую часть числа делим на новое основание р. Полученный от деления первый остаток является младшей цифрой целой части числа с основанием р. Целую часть полученного числа снова делим на основание р. В результате определим второй остаток, равный следующей после младшей цифре числа с основанием р", деление будем производить до тех пор, пока не получим частное меньше делителя. Последнее частное дает старшую цифру числа с основанием р.
Число 26 10 перевести в двоичную систему счисления. Перевод осуществим методом последовательного деления десятичного числа 26 на основание новой системы счисления - 2. Остатки от деления образуют искомое число в двоичной СС. Таким образом:
В результате получаем 26 10 = 11010 2
Число 191 10 перевести в восьмеричную систему счисления. Перевод осуществим методом последовательного деления десятичного числа 191 на основание новой системы счисления - 8. Остатки от деления образуют искомое число в восьмеричной СС.Остатки отделения образуют восьмеричное число
В результате получаем 191 10 = 277 2
Перевод из позиционной СС в десятичную:
Перевод из любой позиционной системы счисления в десятичную осуществляется следующим методом:
1) над каждым разрядом числа расставляют его номер по порядку справа налево, начиная с нуля; 2) цифры числа являются коэффициентами при основании системы счисления в степенях соответствующих номеру разряда; 3) суммируют полученные произведения оснований системы счисления в степенях равных соответствующему номеру разрядов на цифры числа.
Рассмотрим данный алгоритм на примере перевода 1101001 2 в десятичную СС: 1101001 2 = 10 = 105 10
Перевод дробных чисел
Предположим, что правильную дробь X, представленную в системе счисления с основанием q, требуется перевести в систему счисления с основанием р. Перевод осуществляем по следующему правилу. Исходное число умножаем на новое основание р. Получающаяся при этом целая часть произведения является первой искомой цифрой. Дробную часть произведения снова умножаем на основание р, целая часть нового произведения будет второй искомой цифрой. Дробную часть снова умножаем на основание р и т. д.
в результате 0,31 10 = 0,0100111 2
Из этого примера следует, что перевод дробей может представлять собой бесконечный процесс, а результат перевода - приближенный.
Число цифр в числе, представленном в системе счисления с основанием р, определяется из условия, что точность числа в этой системе должна соответствовать точности числа в системе счисления с основанием q.
Перевод двоичной части числа рассмотрим на примере перевода двоичной дроби в десятичную, его можно осуществить сложением всех цифр со степенями 2, соответствующими позициям разрядов исходной двоичной дроби, в которых цифры равны 1. Т.е. осуществляется аналогично переводу целых чисел, но цифры нумеруются слева на право со знаком минус.
0,1110111 2 = 10 = 0,9296875
Перевод произвольных чисел.
Числа, имеющие целую и дробную часть, переводятся в два этапа: вначале целая часть числа, а затем дробная.
Выбор системы счисления
От того, какая система счисления будет использована в ЭВМ, зависят скорость вычислений, емкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций. При выборе системы счисления учитывается зависимость длины числа и количества устойчивых состояний функциональных элементов (для изображения цифр) от основания системы счисления. Например, при десятичной системе счисления функциональный элемент должен иметь десять устойчивых состояний, а при двоичной системе счисления - два. Кроме того, система счисления должна обладать простотой выполнения арифметических и логических операций.
Десятичная система счисления, привычная для нас в повседневной жизни, не является наилучшей для использования в ЭВМ. Это объясняется тем, что известные в настоящее время функциональные элементы с десятью устойчивыми состояниями (элементы на основе сегнетокерамики, декатроны и др.) имеют низкую скорость переключения и, таким образом, не могут удовлетворять требованиям, предъявляемым к ЭВМ по быстродействию. Поэтому в большинстве случаев в ЭВМ используют двоичные или двоично-кодированные системы счисления. Широкое распространение этих систем обусловлено тем, что элементы ЭВМ способны находиться лишь в одном из двух устойчивых состояний. Например, полупроводниковый транзистор в режиме переключения может быть в открытом или закрытом состоянии, а следовательно, иметь на выходе высокое или низкое напряжение. Ферритовый сердечник в устойчивом состоянии может иметь положительную или отрицательную остаточную магнитную индукцию. Такие элементы принято называть двухпозиционными. Если одно из устойчивых положений элемента принять за 0, а другое - за 1, то достаточно просто изображаются разряды двоичного числа.
